2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：理数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数，，，其中是的导函数。
（Ⅰ）令，，，求的表达式；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，比较与的大小，并加以证明。
由题设得，（）。
（Ⅰ）由已知，，，，，可得。
下面用数学归纳法证明。
①当时，，结论成立。
②假设时结论成立，即，那么，当时，，即结论成立。
由①②可知，结论对成立。
（Ⅱ）已知恒成立，即恒成立。
设（），则，
当（仅当，时等号成立），所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以时，恒成立（仅当时等号成立）。
当时，对有，所以在上单调递减，所以。
即时存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是。
（Ⅲ）由题设知，，比较结果为。
证明如下：
证法一
上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取，可得，。令，，则。
②假设时结论结论成立，即。
那么，当时，
，即结论成立。
证法二
故有，
，
上述各式相加可得。
证法三
如图，是由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中各矩形的面积和，所以，结论得证。
本题主要考查导数在研究函数中的应用及数学归纳法。
（1）先求出的表达式，归纳出的表达式，再利用数学归纳法证明即可；
（2）根据题设条件写出不等式，利用函数求导及分类讨论的思想即可求解；
（3）可利用数学归纳法或第二问的结论或者利用积分的方法都可以证明。
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