2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第21题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第23题
（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，对于直线和点，，记，若，则称点，被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点，被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线。
（1）求证：点，被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线。
（1）因为，所以点，被直线分隔。
（2）直线与曲线有公共点 的充要条件是方程组有解，即。因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即。
当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔。故实数的取值范围是。
（3）设的坐标为，则曲线的方程为，即。对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点。又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔。所以轴为曲线的分隔线。
若过原点的直线不是轴，设其为，由，得，令，因为，所以方程有实数解，即直线与曲线有公共点，故直线不是曲线的分隔线。
综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线。
本题主要考查函数与方程。
（1）利用已知条件可直接求解；
（2）根据分隔线定义，列式求解即可；
（3）利用题设提条件证明即可。
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