2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）。点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点。
（ⅰ）设直线，的斜率分别为，，证明存在常数使得，并求出的值；
（ⅱ）求面积的最大值。
（Ⅰ）由题意知，可得。椭圆的方程可简化为。将代入可得，因此，可得。因此，所以椭圆的方程为。
（Ⅱ）（ⅰ）设，，则，因为直线的斜率，又，所以直线的斜率。设直线的方程为，由题意得，，由可得。所以，因此。由题意知，所以。所以直线的方程为。令，得，即。可得。所以，即。因此存在常数使得结论成立。
（ⅱ）直线的方程，令，得，即。由（ⅰ）知，可得的面积。因为，当且仅当时等号成立，此时取得最大值，所以面积的最大值为。
本题主要考查圆锥曲线与直线方程。
（1）根据离心率得到和的关系，根据被椭圆截得的线段求得的值，故可得到椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设出点和点的坐标，分别联立与抛物线方程联立，根据韦达定理得到根与系数的方程，求解即可得到的值；
（ⅱ）求出的表达式，根据基本不等式的性质即可求出其最大值。
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