2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有。当点的横坐标为时，为正三角形。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去），由，解得。所以抛物线的方程为。
（2）（i）由（1）知，设，。因为，则，由得，故。故直线的斜率，因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得。设，则，。当时，，可得直线的方程为，由，整理可得，直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点。
（ii）由（i）知直线过定点，所以，设直线的方程为，因为点在直线上，故，设，直线的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得。所以，可求得，。所以点到直线的距离为，则的面积，当且仅当即时等号成立。所以的面积的最小值为。
本题主要考查圆锥曲线与直线方程。
（1）设出焦点坐标，根据即可解得值；
（2）（ⅰ）设出点和点坐标，根据已知条件得到直线和直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，得到点坐标，故可得到直线的方程，化简即可发现其过定点，得证；
（ⅱ）根据（ⅰ）中结论得到的长，根据点到直线的距离公式得到点到的距离，则可得的面积关于某一变量的表达式，根据基本不等式的性质可知存在这样的最小面积值。
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