2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第16题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第18题
（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值。
（1）因为四边形是等腰梯形，且，所以，又由是的中点，因此且，连接，在四棱柱中，因为，，可得，，所以四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面。
（2）解法一：连接，，由（1）知且，所以四边形为平行四边形，可得，由题意，所以为正三角形，因此，，因此，又底面，建立空间坐标系，所以，，，因此，所以，，设平面的一个法向量，由得，可得平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，因此，所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为。
解法二：由（1）知平面平面，过向作垂线交于，连接，由平面，可得，因此为二面角的平面角，在中，，，可得。所以，在中，，所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为。
本题主要考查线面关系的判定和二面角。
（1）通过证明与平行且相等，得到四边形为平行四边形，则，也即平面，得证；
（2）这里提供两种思路：一、坐标系法，建立如图所示的空间直角坐标系，根据边角关系得到各点坐标和所要求的二面角所在两平面的法向量，即可得该二面角的余弦值；二、几何法，作出如图所示的辅助线，根据线面关系得到二面角的具体角为，在中，得到各边的长后即可得其大小。
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