2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：文数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：文数第21题
（本小题满分12分）
圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图）：
（Ⅰ）求点 的坐标；
（Ⅱ）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于，两点，若的面积为，求的标准方程。
（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即。此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为。由知当且仅当时有最大值，即有最小值，因此点的坐标为。
（Ⅱ）设的标准方程为，点，。由点在上知，并由得。又，是方程的根，因此，由，，得。由点到直线的距离为及得，解得或。因此，（舍）或，。从而所求的方程为。
本题主要考查圆与方程和曲线与方程。
（Ⅰ）通过已知的线与圆的位置关系得出切点的坐标关系，然后通过不等式算出具体数值。
（Ⅱ）首先通过点在椭圆上，以及椭圆和直线的关系求出交点的坐标表达式，通过两个交点横坐标的关系利用韦达定理求出横坐标关于的表达式，再根据直线斜率和三角形面积公式求出，利用题目已知条件进行取舍。
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