2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第21题
（本小题满分16分）
设数列的前项和为。若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”。
（1）若数列的前项和，证明：是“数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差。若是“数列”，求的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立。
（1）由已知，当时，。于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“数列”。
（2）由已知，得。因为是“数列”，所以存在正整数，使得，即，于是。因为，所以，故，从而。当时，，是小于的整数，。于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“数列”。因此的值为。
（3）设等差数列的公差为，则。令，，则。下证是“数列”。设的前项和为，则。于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“数列”。同理证也是“数列”。所以，对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立。
本题主要考查等差数列、等比数列以及自定义数列的推理和证明。
（1）根据数列和求出数列的通项公式，再根据新数列的定义找二者之间的关系；
（2）先分别表示出数列的通项以及前项和公式，再根据新数列的定义列方程求公差；
（3）本题的关键是把等差数列按照新数列的定义那个方向进行拆分。
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