2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第17题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题
（本小题满分16分）
如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区。规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于。经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），。
（1）求新桥的长；
（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？
解法一：（1）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系。由条件知，，直线的斜率。又因为，所以直线的斜率。设点的坐标为，则，。解得，。所以，因此新桥的长是。
（2）设保护区的边界圆的半径为，。由条件知，直线的方程为，即。由于圆与直线相切，故点到直线的距离是，即。因为和到圆上任意一点的距离不少于，所以，即。解得。故当时，最大，即圆面积最大，所以当时，圆形保护区的面积最大。
解法二：（1）如图，延长，交于。因为，所以，。因为，，所以，，从而。因为，所以。又因为，所以，从而。因此新桥的长是。
（2）设保护区的边界圆与的切点为，连接，则，且是圆的半径，并设，。因为，所以。故由（1）知，所以。因为和到圆上任意一点的距离均不少于，所以，即，解得。故当时，最大，即圆面积最大，所以当时，圆形保护区的面积最大。
本题主要考查解析几何的应用、直线方程以及点到直线的距离。
（1）主要根据两条互相垂直的线斜率之积为,建立方程；
（2）要使圆面积最大，应求圆半径最大，根据圆心位置和、到圆周距离建立不等关系进行求解。
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