2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知常数，函数。
（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求的取值范围。
（1）。
当时，，此时 ，在区间上单调递增。
当时，由得（舍去）。
当时，；当时，。故在区间上单调递减，在区间上单调递增。
综上所示，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增。
（2）由式知，当时，，此时不存在极值点。因而要使得有两个极值点，必有。又的极值点只可能是和，且由的定义可知，且，所以，且，解得。此时，由式易知，，分别是的极小值点和极大值点。而
。
令，由且知，
当时，；当时，。
记。
（i）当时，，所以，因此在区间上单调递减，从而。故当时，。
（ii）当 时，，所以，因此因此在区间上单调递减，从而。故当时，。
综上所述，满足条件的的取值范围为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）利用导函数及分类讨论即可得到答案；
（2）用表示出和，利用不等式即可求解出的取值范围。
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