(本小题满分13分)
已知常数,函数。
(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;
(Ⅱ)若存在两个极值点,,且,求的取值范围。
(1)。
当时,,此时 ,在区间上单调递增。
当时,由得(舍去)。
当时,;当时,。故在区间上单调递减,在区间上单调递增。
综上所示,当时,在区间上单调递增;当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增。
(2)由式知,当时,,此时不存在极值点。因而要使得有两个极值点,必有。又的极值点只可能是和,且由的定义可知,且,所以,且,解得。此时,由式易知,,分别是的极小值点和极大值点。而
。
令,由且知,
当时,;当时,。
记。
(i)当时,,所以,因此在区间上单调递减,从而。故当时,。
(ii)当 时,,所以,因此因此在区间上单调递减,从而。故当时,。
综上所述,满足条件的的取值范围为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
(1)利用导函数及分类讨论即可得到答案;
(2)用表示出和,利用不等式即可求解出的取值范围。