2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第21题
（本小题满分14分）
已知椭圆的一个焦点为，离心率为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。
（1）由椭圆的一个焦点为可知：，离心率，则， 故，则椭圆的标准方程为：。
（2）当过点的一条切线斜率不存在时，点可能有四个取值，分别为，，，。
当过点的切线斜率均存在时，设其切线斜率为，则切线方程为：，与椭圆方程联立，得：，则，整理可得：。
设过点的两切线斜率分别为、，由题意知，两切线互相垂直，则，即，整理得：
经检验，，，，四个点均满足，故点的轨迹方程为 。
本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆相切。
（1）根据焦点坐标可知，而已知离心率，故，利用可求出，故可得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论过点的切线斜率是否存在，若斜率不存在则满足条件的点有个，若斜率存在则设为，由此可得切线方程，与椭圆方程联立，令，化简可得关于斜率的一元二次方程。因为两切线互相垂直，则两斜率之积为，借助韦达定理，便可求出点的轨迹方程。
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