2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，，，的面积为。
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程。若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）设，，其中，由得，从而，故，从而，由得，因此，因，故，，，故椭圆的标准方程为。
（Ⅱ）如图所示，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，，，，是圆的切线，且，由圆和椭圆的对称性，易知，，。由（Ⅰ）知,，所以，，再由得，由椭圆方程得，即，解得或。
当时，，重合，题设要求的圆不存在。
当时，过，分别与，垂直的直线的交点即为圆心。设，由得，而，故。
圆的半径。
综上，存在满足题意的圆，其方程为。
本题主要考查椭圆极其方程。
（Ⅰ）据题意列方程组求解；
（Ⅱ）先假设存在，再根据条件求解满足题意的圆的方程。
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