2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第18题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第20题
（本小题满分13分）
如图，四棱柱中，底面是以为中心的菱形，，，，为上一点，且，。
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角的正弦值。
（Ⅰ）如图所示，
连结，，因为菱形，则，且。以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系。
因，故，，所以，，，，，
由，知，，从而，即
设，，则，，因为，故，即，所以，（舍去），即。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为。
由，得，故可取
从而法向量，的夹角的余弦值为
故所求二面角的正弦值为
本题主要考查点线面的位置关系及空间向量的运算。
（1）建立空间直角坐标系，利用已知条件求出的坐标，从而可求出的长度；
（2）求出平面与平面的法向量，利用两个法向量夹角的余弦值即可求出二面角的正弦值。
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