2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第19题<-->返回列表
(本小题满分14分)
设,已知函数。
(1)证明在区间内单调递减,在区间内单调递增;
(2)设曲线在点处的切线相互平行,且,证明。
(1)设函数,,,
由,从而当时,,
所以函数在区间内单调递减。
,
由于,所以当时,,
当时,,即函数在区间内单调递减,在内单调递增。
综上及,可知函数在区间内单调递增,在区间内单调递增。
(2)由(1)知,在区间内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增。
因为曲线在点处的切线相互平行,
从而,,互不相等,且。
不妨设,由,
可得,解得,从而。
设,则,
由,解得,所以。
设,则,因为,所以,
故,即。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
(1)欲证得函数在某一区间的单调性,需判断该函数导函数在该区间的正负,故首先对该函数求导,然后利用一元二次不等式的知识求解本题即可。
(2)由于曲线切线互相平行建立导函数两两相等的等式,从而可得,, 的关系,最后根据配方法求证本小题即可。
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