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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第20题

(2013天津卷计算题)

(本小题满分14分)

,已知函数

(1)证明在区间内单调递减,在区间内单调递增;

(2)设曲线在点处的切线相互平行,且,证明。 

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第20题
【答案】

(1)设函数

,从而当时,

所以函数在区间内单调递减。

由于,所以当时,

时,,即函数在区间内单调递减,在内单调递增。

综上及,可知函数在区间内单调递增,在区间内单调递增。

(2)由(1)知,在区间内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增。

因为曲线在点处的切线相互平行,

从而互不相等,且

不妨设,由

可得,解得,从而

,则

,解得,所以

,则,因为,所以

,即

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)欲证得函数在某一区间的单调性,需判断该函数导函数在该区间的正负,故首先对该函数求导,然后利用一元二次不等式的知识求解本题即可。

(2)由于曲线切线互相平行建立导函数两两相等的等式,从而可得 的关系,最后根据配方法求证本小题即可。

【考点】
导数在研究函数中的应用
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