2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题<-->返回列表
(本小题满分14分)
已知函数,。
(Ⅰ)若直线与的反函数的图像相切,求实数的值;
(Ⅱ)设,讨论曲线与曲线 公共点的个数;
(Ⅲ)设, 比较与的大小,并说明理由。
(Ⅰ)的反函数为。
设直线与的图象在处相切,则有,,解得,;
(Ⅱ)曲线与的公共点个数等于曲线与的公共点个数。
令,则,所以。
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增。
所以,在上的最小值为。
当时,曲线与无公共点;
当时,曲线与恰有一个公共点;
当时,在区间内存在,使得,在内存在,使得。由的单调性知,曲线与在上恰有两个公共点。
综上所述,当时,若,曲线与没有公共点;若,曲线与有一个公共点;当,曲线与有两个公共点。
(Ⅲ)可以证明,事实上,()(*)。
令(),则(仅当时等号成立),所以在上单调递增,所以时,,令,即得(*)式,结论得证。
本题主要考查导数在函数中应用。
(Ⅰ)求解函数的反函数,然后利用相切,设出切点坐标,求出反函数导数,和直线斜率相同,求出斜率值。
(Ⅱ)用表示,利用解析式进行求导,分析函数的单调性,从而确定每个函数值对应几个横坐标,即为取该值时,对应几个公共点。
(Ⅲ)将不等式进行变换可得到(),构造函数(),通过函数单调性即可判断不等式成立,从而得到。
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