2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第21题<-->返回列表
（本题满分14分）
椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值。
（Ⅰ）由于 ，将 代入椭圆方程 得 ，由题意知 ，即 ，又因为 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为 。
（Ⅱ）设 ，因为 ， ，
所以直线 ， 的方程分别是 ， 。由题意知 ，又因为点 在椭圆 上，所以，所以 ，因为 ， ，所以 ，所以 ，于是 。
综上所述，的取值范围为。
（Ⅲ）设 ，则直线 的方程是 ，由 消 整理得， ，由题意知 ，即 。又因为 ，所以 ，故 。
由（Ⅱ）知 ， ，所以 ，所以 ，
因此 为定值，这个定值为 。
本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆与直线相交问题。
（Ⅰ）根据给出的椭圆的离心率，过且垂直轴的直线被椭圆截得的线段长为1有，从而求得，，故得到椭圆方程为。
（Ⅱ）设出点的坐标，根据点的坐标写出直线，的方程，根据题意到直线，的距离相等，在椭圆上得到两个等式。再根据在椭圆上，故的横坐标，代入上面得到的等式，得出的取值范围。
（Ⅲ）先求出直线的方程，写出直线的斜率关于的表达式，同理也将，写成只关于，的表达式。再代入，化简可以消去，得到定值。
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