2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第22题
（本题满分12分）
设函数（是自然对数的底数，）。
（Ⅰ）求的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于的方程式根的个数。
（Ⅰ）因为，所以，
由解得。
当时，>0，为单调递增函数；
当时，，为单调减函数。
所以函数的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
最大值为 。
（Ⅱ）令， 。
（1）当 时， ，则 ，
所以 。
，， ，
于是，因此 在 上为单调递增函数。
（2）当时， ，则，
所以，
因为 ， ，所以 ，
于是，又 ，，
，即 ，因此 在 上为单调递减函数。
综合（1）（2）可知，当 时， 。
当 ，即 时， 没有零点，
故关于 的方程 根的个数为。
当 ，即 时， 只有一个零点，
故关于的方程 根的个数为。
当，即时，
① 当 时，由（Ⅰ）知。
要使 ，只需使 ，即 ；
②当 时，由（Ⅰ）知 。
要使，只需使，即 ；
所以 时， 有两个零点，
故关于 的方程根的个数为 。
综上所述，当 时，关于x 的方程根的个数为 ；
当时，关于的方程根的个数为；
当 时，关于的方程根的个数为。
本题主要考查函数的单调性及函数根的个数分析等。
（Ⅰ）分析的导函数的正负情况即可得到单调性与最值；
（Ⅱ）问题转化为求在上的根的个数，首先分情况去掉绝对值符号，然后分析导函数的性质，通过单调区间和极值判断各种情况下的根的个数，最后汇总得出结果。
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