2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。
（1）指出函数的单调区间；
（2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；
（3）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。
（1）函数的单调减区间为，单调增区间为，。
（2）由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，
故当点处的切线与点处的切线垂直时，有。
当时，对函数求导，得。
因为，所以，
所以,，。
因此。
（当且仅当，即且时等号成立）
所以，函数的图象在点处的切线互相垂直时，有。
（3）当或时，，故。
当时，函数的图象在点处的切线方程为，即。
当时，函数的图象在点处的切线方程为.，即。
两切线重合的充要条件是
由及知，.
由得，。
令，则，且。
设 ，则，所以 为减函数。
则，所以。
而当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是。
故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是。
本题主要考查函数的单调性、函数的切线的计算和导数在研究函数中的应用。
（1）对函数求导，即可得到其单调区间。
（2）分别求出在两点的切线斜率，然后两斜率积为，在运用基本不等式即可得证。
（3）对的取值分三种情况讨论。计算每种情况下的取值范围。
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