2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：文数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：文数第21题
（本小题满分12分）
如图，抛物线，。点在抛物线上，过作的切线，切点为，（为原点时，，重合于）。当时，切线的斜率为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（，重合于时，中点为）。
（Ⅰ）因为抛物线上任意一点的切线斜率为，且切线的斜率为，所以点坐标为，故切线的方程为。
因为点在切线抛物线上，于是①。②。
由①②得。
（Ⅱ） 设，，，。③，④，
切线、的方程为⑤，⑥。
由⑤⑥得、的交点的坐标为。
因为点在上，即，所以
⑦。
由③④⑦得，。
当时，、重合于原点，中点为0，坐标满足，因此中点的轨迹方程为。
本题主要考查抛物线的基本性质和直线与抛物线的位置关系。
（Ⅰ）根据题意求出切线的方程为，由于点在同时在抛物线和该切线上，顾客求出点坐标，于是可求出。
（Ⅱ）先求出两切线的表达式，是这两条直线的交点，同时在抛物线上，即可求出点的轨迹方程。设线段中点坐标为， 根据题意可求出点与的大小关系，代入的轨迹方程即可求出点的轨迹方程。
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