2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第21题
（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”。如图6所示的路径与路径都是到的“路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处。现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心。
（Ⅰ）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（Ⅱ）若以原点为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点的位置，使其到三个居民区的“路径”长度值和最小。
设，且。
（Ⅰ）点到点的“路径”的最短距离是，等于水平距离垂直距离，即，其中。
（Ⅱ）点到三点的“路径长度之和的最小值水平距离之和的最小值垂直距离的最小值，且和互不影响。显然时，；显然时，水平距离之和，且当时，。因此，当时，。所以，当点满足时，点到三点的“路径”长度之和的最小值为。
本题主要考查绝对值不等式的应用。
（Ⅰ）利用最短距离等于水平距离加竖直距离列出绝对值不等式。
（Ⅱ）可以分别求解水平距离最小值和竖直距离的最小值，进行分类讨论，并把水平距离最小值和竖直距离最小值相加，得到结果。
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