2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，在直棱柱中，，， ，， 。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
（Ⅰ）因为是直棱柱，所以，面，且面。又因为，且，所以面。因为面，所以。（证毕）
（Ⅱ）因为，所以直线与平面的夹角即直线与平面的夹角。建立直角坐标表系，用向量解题。设原点在点，为轴正半轴，为轴正半轴。设。则。因为，，所以。设平面的法向量为，则平面的一个法向量为，，所以平面的一个法向量为，，所以与平面夹角的正弦值是。
本题主要考查点、线、面位置关系。
（Ⅰ）利用直棱柱得到线面垂直，从而得到，再由平面几何解出底面对角线垂直，得到线面垂直，从而得到线线垂直。
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，求出平面法向量和直线方向向量，求法向量和直线方向向量夹角的余弦值，即为所求正弦值。
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