2013年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分12分）
已知函数。
（Ⅰ）若时，，求的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，证明：。
（Ⅰ）由已知，，。
若，则当时，，所以；
若，则当时，，所以当时，。
综上，的最小值是。
（Ⅱ）令，由（Ⅰ）知，当时，，
即，取，则。于是
所以。
本题主要考查导数的应用。
（Ⅰ）本题应该先对进行求导，得到它的导函数。观察到，又因为，进一步的应该讨论的取值范围，使得，进而得出的取值范围。
（Ⅱ）本题主要利用（Ⅰ）中的结论，得到不等式，由于数列的通项公式为，所以考虑对该不等式进行换元，令，再结合不等式，利用拆分与累加法便可证明欲证结论。
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