2013年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
已知双曲线：的左、右焦点分别为、，离心率为，直线与的两个交点间的距离为。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设过的直线与的左、右两支分别交于、两点，且，证明：、、成等比数列。
由题设知，即，故，
所以的方程为。
（Ⅰ）将代入上式，求得，
由题设知，，解得。
所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，的方程为 ①
由题意可设的方程为，，代入①并化简得
。
设，，则
，，，，
于是
，
由得，即。
故，解得，从而。
由于
故，
因而，所以、、成等比数列。
本题主要考查双曲线的焦距以及实半轴与虚半轴的计算。
（Ⅰ）本题应该利用双曲线的离心率得到之间的关系，将双曲线的方程化为只含有参量的方程。将代入化简后的方程，便可得到两点间的距离表达式，又因为这两点之间的距离为，所以便可求出的值，便可得到。
（Ⅱ）本题应该先设出直线的斜率并得出其方程，将其与双曲线方程联立，结合韦达定理得出，再利用两点间的距离公式得出，进而求出。进一步的，可以得到，从而命题得证。
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