2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分12分，（Ⅰ）(4分)，（Ⅱ）(8分)）
对正整数，记，。
（Ⅰ）求集合中元素的个数；
（Ⅱ）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”。求的最大值，使能分成两个不相交的稀疏集的并。
（Ⅰ）当时，中有3个数与中的3个数重复，因此中元素的个数为。
（Ⅱ）先证：当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并。若不然，设，为不相交的稀疏集，使。不妨设，则因，故，即。
同理，，又推得，但，这与为稀疏集矛盾。
再证符合要求。当时，可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取，则为稀疏集，且
当时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：
当时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：。
最后，集中的数的分母均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，则和是不相交的稀疏集，且。
综上，所求的最大值为。
考虑两个元素之和是整数的平方，即，移项并平方得：，可知是完全平方数，同理可知是完全平方数。对于（，互质，互质），通分得：，可知是的倍数，而互质，故是的倍数，同理可知是的倍数，故。即若两个元素之和是整数的平方，则且为完全平方数。则若要分为两个稀疏集的并，只需将分母相同且为完全平方数的元素分成两部分，使其每个部分之中均不存在两个元素之和是整数的平方。
时，，只需令，不在同一个集合即可。
时，或，可以用逐一分析法将集合分为两个稀疏集的并（即若在一个集合中，则由于满足是完全平方数，可推出在另一个集合中，以此类推）。
时，考虑分母为（此时），先对讨论，发现当时不能分为两个稀疏集；再对讨论，发现当时是可以分解为两个稀疏集的。
故的最大值为。
本题主要考查计数原理的使用和集合的划分。
（1）根据分布乘法原理，和共有种选择，关键是找出其中重复的值。是无理数时不会重复，只需排查和两种情况值重复了几次。
（2）先进行简单的尝试，看为何值时已经不满足条件了。用，，，，简单尝试发现时已经不满足条件了。接下来我们尝试构造，来证明满足要求。假使仍不能构造出，，可接着考虑。
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