2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第22题
（本小题满分12分，（Ⅰ）(4分)，（Ⅱ）(8分)）
如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，。
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。若⊥，求圆的标准方程。
（Ⅰ）由题意知点在椭圆上，则，
从而。
由得，从而，
故该椭圆的标准方程为。
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设，由设是椭圆上任意一点，则。
设P（），由题意，是椭圆上到的距离最小的点，因此，上式当时取最小值，又因，所以上式当时取最小值，从而，且，
因为⊥，且，所以，
即由椭圆方程及得
解得。
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
。
本题主要考查椭圆的方程和圆的方程。
（Ⅰ）由得，利用椭圆过点及列方程可求出。
（Ⅱ）椭圆上的其余点均在圆外，即 是椭圆上到距离最短的点。设是椭圆上一点， 坐标为，化简得是关于的二次函数，当时取最小值，最小值为，即圆半径为。利用列方程可解出，再求出圆半径，即可得到圆的方程。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第21题"相关
