2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第20题
（本小题满分13分，（Ⅰ）(5分)，（Ⅱ）(8分)）
如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥。
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
（Ⅰ）如图，连接交于，因为，
即为等腰三角形，又平分，故。
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，故，，，。
因底面，可设，由为边中点，。又，，
因，故，即（舍去），所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，得
，因此可取。
由，得，
故可取。
从而法向量，的夹角的余弦值为。
故二面角的正弦值为。
本题主要考查用建系法解决立体几何问题。
（Ⅰ）底面，可以考虑用建系法。建系时尽量让更多的点落在坐标轴上，容易求出这些点的坐标。注意到，以和交点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建系，写出图中点的坐标，未知的设出来，利用列方程求解。
（Ⅱ）易看出该二面角的平面角是锐角，求出两个平面的法向量，,，利用即可。
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