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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题

(2013北京卷计算题)

(13分)

已知是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为

(1)若,是一个周期为的数列(即对任意),写出的值;

(2)设是非负整数,证明:的充分必要条件为是公差为的等差数列;

(3)证明:若,则的项只能是或者,且有无穷多个项为

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题
【答案】

(1)

(2)充分性:因为 是公差为的等差数列,且,所以

因此  

必要性: 因为,所以。又因为,所以

于是,,因此:

 是公差为的等差数列。

(3)因为 ,所以 。故对任意

假设中存在大于的项。

为满足 的最小正整数,

,并且对任意

又因为,所以,且

于是,

,与矛盾。

所以对于任意,有 ,即非负整数列 的各项只能为

因为对任意 , 所以 。故

因此对于任意正整数,存在满足,且 ,即数列有无穷多个项为

【解析】

本题主要考查数列,逻辑关系与不等式等知识。

(1)根据已知根除的的定义,直接求出的值。

(2)分别证明充分性和必要性。充分性:由条件推导结论;必要性:由结论推导条件。

(3)本问采用反证法,假设存在大于的数,推导出与已知条件矛盾。即可得到假设不成立,故中没有大于的数,又由于是非负的正数数列,故中只可能是。然后再进一步证明数列中存在无穷多个

【考点】
创新数列问题命题及其关系等差数列
【标签】
反证法特殊与一般的思想综合与分析法
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