2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第19题<-->返回列表
(13分)
已知是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为,。
(1)若为,是一个周期为的数列(即对任意,),写出,,,的值;
(2)设是非负整数,证明:的充分必要条件为是公差为的等差数列;
(3)证明:若,,则的项只能是或者,且有无穷多个项为。
(1),。
(2)充分性:因为 是公差为的等差数列,且,所以。
因此 ,,。
必要性: 因为,所以。又因为,所以。
于是,,,因此:。
即 是公差为的等差数列。
(3)因为 ,,所以 ,。故对任意,。
假设中存在大于的项。
设为满足 的最小正整数,
则,并且对任意,。
又因为,所以,且。
于是,,,。
故,与矛盾。
所以对于任意,有 ,即非负整数列 的各项只能为或。
因为对任意 ,, 所以 。故。
因此对于任意正整数,存在满足,且 ,即数列有无穷多个项为。
本题主要考查数列,逻辑关系与不等式等知识。
(1)根据已知根除的的定义,直接求出,,,的值。
(2)分别证明充分性和必要性。充分性:由条件推导结论;必要性:由结论推导条件。
(3)本问采用反证法,假设存在大于的数,推导出与已知条件矛盾。即可得到假设不成立,故中没有大于的数,又由于是非负的正数数列,故中只可能是和。然后再进一步证明数列中存在无穷多个。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题"相关