2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。
（Ⅰ）由已知得，交点的坐标为，对求导得
则抛物线在点处的切线方程为： ，令，得，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则成立的充要条件是
即知，对于所有的成立，特别地，取，得到。
当，时，
当时，。故时，对所有均成立。
所以满足条件的的最小值为3。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
下面证明：
首先证明：当时，，
设函数，， 则。
当时，；当时，。
故在区间上的最小值
所以，当时，，即得
由知（），因此，从而
。
本题主要考查等比数列、指数函数以及导数在函数中的应用等相关知识。
（Ⅰ）令，得出点坐标，对抛物线方程求导，得出过点的切线的斜率，由此即可得出过点的切线方程，令，得出。
（Ⅱ）由已知得出，观察此不等式，可知当较大时，随着的增大，的变化速率比的变化速率快。所以，猜想只要当时，不等式成立，那么当时，不等式也一定成立，于是令，得到，则此时的最小值为3，接下来证明当时，对于所有的，不等式均成立即可。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，观察到后面一项是等比数列的前项和，所以只需比较与的大小。构造函数，，确定在上的正负，确定题目所给两项的大小。
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