2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第21题
（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
（Ⅰ）取，得 ①
取，得②
又②-①，得 ③
（1）若 ， 由①知
（2）若， 由③知 ④
由①④得：或。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，；
当时，有；
所以，即 ，所以。令，则，所以，数列是以为公差，且单调递减的等差数列。则 ，当时，所以，时，取得最大值，且的最大值为 。
本题主要考查数列通项的求法和数列求和。
（Ⅰ）直接赋值和，可求得，或，。
（Ⅱ）注意到条件，则，。先求解通项为。代入，化简得，故数列是以为公差，且单调递减的等差数列。当恰出现的情况时，此时取最大值。由分析知，故时，取得最大值。则得。
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