2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第19题
（本小题满分12分）
如图，直三棱柱 ，，，点，分别为和的中点。
（1）证明：平面；
（2）若二面角为直二面角，求的值。
（1）连结，由已知，。
三棱柱为直三棱柱，
所以为中点，又因为为中点。
所以，又平面，
平面 ，因此平面。
（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系 ，如图所示：
设则，
于是，，，，，，
所以，，设是平面的法向量，
由得，可取，
设是平面的法向量，
由得 ，可取，
因为为直二面角，所以，即，解得。
本题主要考查线与平面的位置关系和建系法的应用。
（1）证明线面平行，一般证明直线平行于平面内的某一条直线。本题利用中点，可以发现是的中位线。
（2）利用三棱柱为直三棱柱，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用其数量积为即可。
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