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2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第18题

(2012辽宁卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,直三棱柱 ,点分别为的中点。

(1)证明:平面

(2)若二面角为直二面角,求的值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第18题
【答案】

(1)连结由已知

三棱柱为直三棱柱,

所以中点,又因为中点。

所以,又平面

平面 ,因此平面。  

(2)以为坐标原点,分别以直线轴,轴,轴建立直角坐标系 ,如图所示:

于是

所以,设是平面的法向量,

,可取

是平面的法向量,

,可取

因为为直二面角,所以,即,解得

【解析】

本题主要考查线与平面的位置关系和建系法的应用。

(1)证明线面平行,一般证明直线平行于平面内的某一条直线。本题利用中点,可以发现的中位线。

(2)利用三棱柱为直三棱柱,以为坐标原点建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,利用其数量积为即可。 

【考点】
空间向量的应用点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法直接法建系法
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