2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第19题
(本小题满分12分)
如图,直三棱柱 ,,,点,分别为和的中点。
(1)证明:平面;
(2)若二面角为直二面角,求的值。
(1)连结,由已知,。
三棱柱为直三棱柱,
所以为中点,又因为为中点。
所以,又平面,
平面 ,因此平面。
(2)以为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立直角坐标系 ,如图所示:
设则,
于是,,,,,,
所以,,设是平面的法向量,
由得,可取,
设是平面的法向量,
由得 ,可取,
因为为直二面角,所以,即,解得。
本题主要考查线与平面的位置关系和建系法的应用。
(1)证明线面平行,一般证明直线平行于平面内的某一条直线。本题利用中点,可以发现是的中位线。
(2)利用三棱柱为直三棱柱,以为坐标原点建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,利用其数量积为即可。
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