2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第21题
（本题满分12分）
在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点。
（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值。
（1）连接，在△中，作 ⊥ 于点，因为∥，所以⊥，因为 ⊥平面，所以⊥。因为，所以，所以⊥平面 。所以，所以⊥平面 ，又＝，，得。
（2）如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由得点的坐标是，由（1）得平面的法向量是，设平面的法向量，令，得，即，所以，即 平面与平面夹角的余弦值为。
本题主要考查立体几何中的线面垂直的综合应用以及二面角的计算。
（1）本题首先要作出符合题意的线段，再利用“若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与该平面垂直”等判定定理，即可证明有关的命题，最后再根据相关的线段数量关系即可得出的长。
（2）本题利用两两垂直即可建立空间直角坐标系。再分别求出平面与平面的法向量，最后再有 ，即可求出平面与平面夹角的余弦值。
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