2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第19题<-->返回列表
（本小题满分13分）
设是由个实数组成的行列的数表满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零，记为所有这样的数表构成的集合。对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和。记为，，，，，，，中的最小值。
（1）对如下数表，求的值；
（2）设数表形如
求的最大值；
（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值。
（1）由题意可知，，，，。
所以 。
（2）先用反证法证明 ：
若 则，所以 同理可知，所以。
由题目所有数和为，即 ，所以 与题目条件矛盾，所以。
易知当 时， 存在。所以 的最大值为。
（3） 的最大值为。
首先构造满足 的：，
，，
。
经计算知， 中每个元素的绝对值都小于，所有元素之和为，且 ，
，
下面证明是最大值，
若不然，则存在一个数表，使得。
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，
而两个绝对值不超过的数的和，其绝对值不超过，
故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中，
由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。
设中有列的列和为正，有列的列和为负，
由对称性不妨设，则，。
另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。
考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过（即每个正数均不超过），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。
因此。
故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。因此的最大值为。
本题主要考查集合、函数和不等式。
（1）根据题目对新数表和的定义代入已知数值即可得到的值；
（2）本问直接求的最大值比较困难，但可先做猜想，然后采用反证法证明即可得最大值为；
（3）此问也是先根据特殊猜想的值，然后通过构造满足题意的，后面在证明所取的值即为最大值时采用反证法。
全网搜索"2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第20题"相关
