2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数。
（1）若为的极值点，求实数；
（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。
注：为自然对数的底数。
（1）求导得。
因为是的极值点，所以，
解得或，经检验，符合题意，所以或。
（2）
①当时，对于任意的实数，恒有成立。
②当时，由题意，首先有，解得，
由（1）知，
令，则，
且
又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点，
则，，
从而，当时，；
当时，；
当时，。
即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。
所以要是对恒成立，只要成立。
由，知
将③代入①得。又，注意到函数在内单调递增，故。
再由③以及函数在内单调递增，可得。
又②解得，。所以。
综上，的取值范围为。
本题主要考查导数以及不等式的综合运用。
（1）本题应该先对函数求导，又因为为的极值点，所以，据此便可解的实数的取值范围。
（2）由于当时，，所以此时恒成立，所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零点即的极值点，从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增，在中单调递减，在中单调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足，这样便可解得的取值范围。
全网搜索"2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第22题"相关
