2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第17题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第19题
（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，点为动点，，分别为椭圆的左右焦点。已知为等腰三角形。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程。
（Ⅰ）设，。
由题意得：，即。
整理得，得（舍），或，所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可得椭圆方程为，直线的方程为。
，两点的坐标满足方程组：，
消去并整理，得，解得：，。
得方程组的解和
不妨设：，，设点的坐标为，
则，。
由，得。
于是，。
由，即。
化简得：。
将代入，得。
所以：。因此，点的轨迹方程为：。
本题主要考查椭圆方程与直线方程的计算、以及椭圆的几何性质。
（Ⅰ）根据已知条件为等腰三角形和椭圆性质，列出关于的方程，解出离心率。
（Ⅱ）第一步：由（Ⅰ）问所求结果，写出椭圆和直线的方程，联立解出，两点坐标；第二步：设出点坐标，由条件列出方程；第三步：此时方程中存在三个未知量，由直线反解出，代回方程中解出的轨迹方程；第四步：讨论轨迹方程的定义域。
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