(本小题满分13分)
在平面直角坐标系中,点为动点,,分别为椭圆的左右焦点。已知为等腰三角形。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程。
(Ⅰ)设,。
由题意得:,即。
整理得,得(舍),或,所以。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,可得椭圆方程为,直线的方程为。
,两点的坐标满足方程组:,
消去并整理,得,解得:,。
得方程组的解和
不妨设:,,设点的坐标为,
则,。
由,得。
于是,。
由,即。
化简得:。
将代入,得。
所以:。因此,点的轨迹方程为:。
本题主要考查椭圆方程与直线方程的计算、以及椭圆的几何性质。
(Ⅰ)根据已知条件为等腰三角形和椭圆性质,列出关于的方程,解出离心率。
(Ⅱ)第一步:由(Ⅰ)问所求结果,写出椭圆和直线的方程,联立解出,两点坐标;第二步:设出点坐标,由条件列出方程;第三步:此时方程中存在三个未知量,由直线反解出,代回方程中解出的轨迹方程;第四步:讨论轨迹方程的定义域。