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2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):文数第23题

(2011陕西卷计算题)

(本小题满分14分)

(Ⅰ)求的单调区间和最小值;

(Ⅱ)讨论的大小关系;

(Ⅲ)求的取值范围,使得对任意成立。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):文数第23题
【答案】

(Ⅰ)由题设知。令

时,,故的单调减区间。

时,,故的单调递增区间,故的唯一值点,且为极小值点,即最小值点,所以最小值为

(Ⅱ)。设,则

时,。当时,内单调递减。当时,

(Ⅲ)由(Ⅰ)知的最小值为,故对任意成立,即,故

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(Ⅰ)求出零点后,讨论其左右区间内的正负即可确定单调区间。因为存在唯一极小值点,故最小值为

(Ⅱ)用左差法得:分为讨论即得解。

(Ⅲ)对任意成立等价于,即,故

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
综合与分析法
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