2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：理数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数定义在上，，导函数，。
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）由题设知，，所以
，令得，当时，，故是的单调减区间；当时，，故是的单调增区间。因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为。
（Ⅱ），设，则，当时，，即；当时，，因此，在内单调递减。当时，，即；当时，，即。
（Ⅲ）满足条件的不存在。
假设存在 ，使 对任意 成立，即对任意，有 但对上述，取时，有 ，这与左边不等式矛盾，因此，不存在 ，使 对任意成立。
本题主要考查函数的求导和利用导函数求解函数单调区间和极值。
（Ⅰ）对函数求导得导函数，再对导函数进行分析。导函数时，函数单调递增；导函数时，函数单调递减。从而分别求得单调区间。令，得极值点，再利用单调性，判断极大值与极小值，如果区间是闭区间，再与区间端点比较得出最小值。
（Ⅱ）构造函数，对函数求导得导函数。讨论函数单调性，并令，得极值点。而，故可得当时，，即，当时，，即。
（Ⅲ）运用反证法，先假设存在，由取值任意性，令取某个特殊值得出矛盾，即可得证不存在。
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