2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：文数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：文数第22题
（本小题共12分）
过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点。
（Ⅰ）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点B时，求证：为定值。
（Ⅰ）由已知得，，解得，所以椭圆方程为。椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得：，解得，。
代入直线的方程得：，所以
（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符。故设直线的方程为且，代入椭圆方程得：，得或。代入直线的方程得：或，所以。
联立直线的方程
。
因此，又，所以。 所以为定值。
本题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力。
（Ⅰ）由题可知，，再结合即可求得椭圆方程，再求得点的坐标，利用两点间距离公式即可求得的长。
（Ⅱ）根据题意可知直线斜率存在，设直线方程为且，与椭圆方程联立，可求得点坐标。联立直线方程，可求得点坐标，又，即可证明为定值。
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