2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第16题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第18题
（本小题满分14分）
请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设。
（1）若广告商要求包装盒侧面积（）最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积（）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
（1），所以时侧面积最大。
（2），所以。当时，递增；当时，递减；所以，当时，最大。此时，包装盒的高与底面边长的比值为。
本题主要考查函数的实际应用的问题。
（1）先建立的表达式，，再利用二次函数的极值点，求得在时侧面积最大。
（2）先建立的表达式，，对其求导得，分析函数的单调性求得最大的取值，并求得包装盒的高与底面边长的比值为。
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