2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第19题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第21题
（本小题满分12分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少。从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初的价值为上年初的。
（Ⅰ）求第年初的价值的表达式；
（Ⅱ）设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新。证明：须在第9年初对更新。
（Ⅰ）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列，故；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
又，故。
因此，第年初，的价值的表达式为
。
（Ⅱ）设表示数列的前项和，由等差、等比数列的求和公式得：当时，，；
当时，由于，故
，
因为是递减数列，所以是递减数列。
又因为，，所以须在第9年初对更新。
本题主要考查等差数列和等比数列在实际问题中的应用。
（Ⅰ）通过对分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第年初的价值的表达式。
（Ⅱ）利用等差数列、等比数列的前项和公式求出，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80进行比较，即可判断须在第9年初对更新。
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