2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
平面内与两定点连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线。
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；
（Ⅱ）当时，对应的曲线为：对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上，是否存在点，使得的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）设动点为，当时，，所以，由题意。当，是焦点在轴的椭圆；当，，是圆心在原点的圆；当，，是焦点在轴的双曲线。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当；当时，，。
上存在点使，由①得，由②得。当，即或时，存在点，使得。当即或，不存在满足的点。
当时，，， 故所以。令， 因为，所以，，因为，所以。
综上所述：时,在上存在满足的点，且时，在上存在满足的点，且，时，在不存在满足的点。
本题主要考查点轨迹方程和圆锥曲线方程。
（Ⅰ）设出动点坐标。利用斜率之积的值，得到横纵坐标关系，从而得到曲线方程。根据值进行分类讨论，得到曲线的形状。
（Ⅱ）利用几何关系求出的取值范围，然后假设这样的点存在，求出的值，检查是否满足取值范围，若满足求出角正切，不满足则不存在。
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