2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第17题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第19题
（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合。
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值。
（Ⅰ）过作于，连结。
如图，连结、，由直棱柱的性质知，底面侧面。
又底面侧面，且底面，所以侧面，为在侧面内的射影。
在中，。则由，得，又，故。
由三垂线定理知。
（Ⅱ）如图，连结，过作于，连结。
由（Ⅰ）知侧面，根据三垂线定理得，所以是二面角的平面角，即。
设，则。
在中，。
在中，，
故当，即当时，达到最小值。
故。此时与重合。
本题主要考查点、线、面的位置关系。
（Ⅰ）构造点使得，使得。利用得到线面垂直从而得到线线垂直。
（Ⅱ）利用线面垂直构造出二面角的平面角，通过解三角形得到平面角的正切值。
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