2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第19题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第21题
（本小题满分14分）
设，数列满足，。
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数，。
（1）由得，
当时，，所以是以首项为，公差为的等差数列。
所以，从而。
当时，，所以是首项为，
公比为的等比数列，所以，
从而。
综上所述，数列的通项公式为
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证，只需证，即证
因为
所以不等式成立，从而原不等式成立；
综上所述，当时，对于一切正整数，。
本题主要考查数列及不等式的证明。
（1）将左右两边取倒数可得，设存在常数使得数列是等比数列，则成立，解得，此处需要讨论是否等于2。
（2）由（1）可知，当时，要证成立，只需证：，由因式分解，将不等式右边化为，对比不等式左边，提出，得，展开，对每两个相乘为常数（即的次数为相反数）用基本不等式即可。
全网搜索"2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第20题"相关
