2011年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分12分）
已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交于、两点，点满足。
（1）证明：点在上；
（2）设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一个圆上。
（1），的方程为，代入并化简得。
设，，，则，。
，。
由题意得，。所以点的坐标为。
经验证，点的坐标为满足方程。
故点在椭圆上。
（2）由和题设知，，的垂直平分线的方程为，
设的中点为，则，的垂直平分线的方程为，
由、得、的交点为，，
，
。
故。
又，。所以。
由此知、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上。
本题主要考查椭圆的性质及椭圆与直线的位置关系。
（1）依题意列出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立可得关于的一元二次方程，解得的值并结合题设条件得出点的坐标，将点代入椭圆进行验证；
（2）欲证明、、、共圆，需证明、、、四点到某一点的距离相等，结合题干可得点的坐标，然后联立的垂直平分线的方程组得出圆心的坐标，得到等式，故证得、、、四点共圆。
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