2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分12分）
如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为。
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在定点，使得与点到直线：的距离之比为定值；若存在，求的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅰ）由，，解得，，，故椭圆的标准方程为。
（Ⅱ）设，，，则由得，即。
因为点，在椭圆上，所以，，故
设，分别为直线，的斜率，由题设条件知，所以，
所以，所以点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率。
直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值。
本题主要考查椭圆标准方程的求解与椭圆的定值问题以及直线与椭圆知识的综合应用。
（Ⅰ）根据离心率和准线方程建立等式即可求得，利用可求得，从而得到椭圆方程。
（Ⅱ）设出的坐标，根据题设建立等式，把代入椭圆方程，整理求得，设出直线的斜率，利用题意可求得，进而求得的值。利用椭圆的定义及性质可得与点到直线：的距离之比为定值。
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