2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第19题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第21题
（本小题满分12分）
如图，在四面体中，平面⊥平面，，，。
（Ⅰ）求四面体的体积；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值。
法一：
（Ⅰ）如图所示，
过作垂足为，故由平面平面，知平面，即，是四面体的面上的高，设为边的中点，则由知，从而。由得，由中，，，故四面体的体积。
（Ⅱ）如图所示，过作，垂足为，连接。由（I）知平面。由三垂线定理知，故为二面角的平面角。在中，。在中，，从而，所以。在中，。
法二：
设是的中点，过作，交于，过作，交于，由平面平面，知。因此以为原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴，可建立空间坐标系。已知，故点，的坐标分别为，。设点的坐标为由，有，解得 （舍去），即点的坐标为。又设点的坐标为由，，有，解得，（舍去）即点的坐标为，从而边上的高为。又，。故四面体的体积。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，。设非零向量是平面的法向量，则由有 ①。由，有 ②。
取，由（1）、（2），可得，，即。向量是平面的法向量，从而 。即二面角的平面角的正切值为。
本题主要考查几何体体积的计算、二面角的求法以及空间想象能力。
（Ⅰ）欲求四面体的体积，必须确定四面体的高和底面。根据题意，可将作为底面。由于平面平面，根据平面与平面垂直的性质定理，在平面中作的垂线，即为四面体的高，从而求得四面体的体积。
（Ⅱ）由（Ⅰ）平面，利用三垂线定理作出二面角的平面角，在直角三角形中求出正切值。
以中点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系。
（Ⅰ）先求得点的坐标，从而求得边上的高，再利用公式即可求得四面体的体积。
（Ⅱ）分别求得平面和平面的法向量为，设二面角的大小为，则，再利用三角函数的性质求得即可。
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