2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第18题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第20题
（本小题满分14分）
已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于、两点。
（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）将表示为的函数，并求的最大值。
（1）由已知得，，所以，所以椭圆的焦点坐标为，，离心率为。
（2）由题意知，，
当时，切线的方程，点、的坐标分别为，，此时 。
当时，同理可得。
当时，设切线的方程为，由 得。
设、两点的坐标分别为、，则 ，。
又由与圆相切，得，即。
所以
由于当时，，所以。
因为，且当时，，所以的最大值为2。
本题主要考查圆锥曲线以及曲线与方程。
（1）根据椭圆的基本概念中，，的关系即可得；
（2）将椭圆与直线方程联立，利用韦达定理和两点间距离公式表示出，是关于的函数，再利用基本不等式即可求出最大值。
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