2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):文数第18题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):文数第20题
(本题满分13分)
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,,,,,都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线。
(Ⅱ)求棱锥的体积。
(Ⅰ)
设是线段与延长线的交点,由于与都是正三角形,所以,且,。
同理,设是线段与延长线的交点,所以与重合。
在和中,由,和,,可知和分别是和的中点,所以是的中位线,故。
(Ⅱ)由,,,知,而是边长为2的正三角形,故,
所以。
过点作,交于点,由平面 平面知,就是四棱锥的高,且,所以。
本题主要考查直线的平行关系,锥形体积的求解。
(1)欲证明,可先证明是的中位线。可延长交于点补成规则多面体,再证明是的中点即可得证。
本题易错点是容易想当然的认为的延长线交于一点,须给出证明。
(2)(补成规则的四面体体积)=(大的四面体的体积)-(补的部分的体积),即可间接求得原多面体的体积。
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