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2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):文数第19题

(2011安徽卷计算题)

(本题满分13分)

如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线

(Ⅱ)求棱锥的体积。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):文数第19题
【答案】

(Ⅰ)

是线段延长线的交点,由于都是正三角形,所以,且

同理,设是线段延长线的交点,所以重合。

中,由,可知分别是的中点,所以的中位线,故

(Ⅱ)由,知,而是边长为2的正三角形,故

所以

过点,交于点,由平面 平面知,就是四棱锥的高,且,所以

【解析】

本题主要考查直线的平行关系,锥形体积的求解。

(1)欲证明,可先证明的中位线。可延长交于点补成规则多面体,再证明的中点即可得证。

本题易错点是容易想当然的认为的延长线交于一点,须给出证明。

(2)(补成规则的四面体体积)=(大的四面体的体积)-(补的部分的体积),即可间接求得原多面体的体积。

【考点】
点、直线、平面的位置关系
【标签】
直接法
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