2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第19题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第21题
（本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过分钟，如果有一个人分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。
（Ⅰ）如果按甲在先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人派出的先后顺序无关，并等于。
（Ⅱ）当一次派出的三个人各自完成任务的概率为时，随机变量的分布列为：
所需派出人员数目的均值（数学期望）为。
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， 。根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所派出人员数目的均值。下面证明：对于的任意排列都有。
事实上：
即成立。
本题主要考查事件与概率。
（Ⅰ）考虑对立事件发生的概率，即任务不能完成的概率。根据条件可得无论以何种顺序派出人员，任务不能被完成的概率均相同，则完成的概率与顺序无关，为，然后用减去这个概率即得所求能完成任务的概率；
（Ⅱ）依次求出的概率，然后求出各值对应的概率即得出分布列，再根据分布列求出数学期望；
（Ⅲ） 优先派出完成任务概率大的人，可减少所派出人员数目的均值。再证明此时的期望最小，即对于任意排列都有：。
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